Để tính số dư của biểu thức \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{2024} \) khi chia cho 13, trước tiên chúng ta nhận thấy rằng đây là một tổng của dãy số hình học.

Công thức tổng của dãy số hình học là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu (ở đây là 3),
- \( r \) là công bội (ở đây là 3),
- \( n \) là số hạng cuối (2024).

Áp dụng công thức này, ta có:

\[
A = 3 \frac{3^{2024} - 1}{3 - 1} = 3 \frac{3^{2024} - 1}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta cần tính \( A \mod 13 \).

**Bước 1: Tính \( 3^{2024} \mod 13 \)**

Chúng ta sẽ sử dụng định lý Fermat. Theo định lý này, nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) là số không chia hết cho \( p \), thì:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Trong trường hợp này, \( p = 13 \) và \( a = 3 \):

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Vì thế, ta cần tìm số \( 2024 \mod 12 \):

\[
2024 \div 12 = 168 \quad \text{và} \quad 2024 \mod 12 = 0
\]

Do đó:

\[
3^{2024} \equiv (3^{12})^{168} \equiv 1^{168} \equiv 1 \mod 13
\]

**Bước 2: Tính \( A \mod 13 \)**

Bây giờ chúng ta có:

\[
A = 3 \frac{3^{2024} - 1}{2} \equiv 3 \frac{1 - 1}{2} \equiv 3 \cdot 0 \equiv 0 \mod 13
\]

Vậy số dư của \( A \) khi chia cho 13 là:

\[
\boxed{0}
\]