Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC

Đối với tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, ta hãy giải các phần của câu hỏi như sau:

### a) Chứng minh tứ giác \( AEHF \) là hình chữ nhật.

1. **Xác định các điểm**:
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( E \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên \( AB \).
- \( F \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên \( AC \).

2. **Tính chất**:
- Ta có \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).
- \( AE \) và \( AF \) đều là các đoạn thẳng nối từ \( A \) đến các hình chiếu và do đó, các góc \( AHE \) và \( AHF \) sẽ đều bằng 90°.

3. **Kết luận**:
- Từ đó, ta có \( AEHF \) có 4 góc vuông. Do vậy, \( AEHF \) là hình chữ nhật.

### b) Đường thẳng qua \( B \) vuông góc với \( AB \) cắt đường thẳng \( FM \) ở \( D \). Chứng minh từ giác \( BDCF \) là hình bình hành.

1. **Xác định điểm**:
- Đường thẳng qua \( B \) vuông góc với \( AB \) sẽ cắt \( FM \) tại \( D \).

2. **Tính chất hình bình hành**:
- \( BD \parallel CF \) vì cả hai đều vuông góc với cùng một đường thẳng \( AB \).
- \( BC \) là cạnh bên và cũng là cạnh đối của hình bình hành.

3. **Kết luận**:
- Vì 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên tứ giác \( BDCF \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh \( AM \) vuông góc với \( EF \).

1. **Xác định trung điểm**:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Xem xét tam giác**:
- Trong tam giác \( ABM \) và \( ACM \):
- Ta có \( AM \) là trung tuyến từ \( A \) đến cạnh \( BC \).

3. **Tính chất vuông góc**:
- Theo định lý trung tuyến, trung tuyến \( AM \) sẽ vuông góc với \( EF \) vì \( EF \) là đường nối giữa các hình chiếu vuông góc của \( H \) trên các cạnh.

### Kết luận:
Từ các điều đã chứng minh, ta có:

1. Tứ giác \( AEHF \) là hình chữ nhật.
2. Tứ giác \( BDCF \) là hình bình hành.
3. Đoạn \( AM \) vuông góc với \( EF \).

Hy vọng rằng hướng dẫn này hữu ích cho bạn!