Chứng minh các biểu thức sau

Để chứng minh các biểu thức từ bài toán cho sẵn, ta cần phân tích hai trường hợp.

### Bài 1
Cho \( f(x) = 4x^3 + ax \) và \( g(x) = 4x^3 + bx^2 + cx + d \).

#### (1) Nếu \( |f(x)| \leq 1, \forall x \in [-1, 1] \)

- Tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \):

\[
f(-1) = 4(-1)^3 + a(-1) = -4 - a
\]

\[
f(1) = 4(1)^3 + a(1) = 4 + a
\]

- Để \( |f(x)| \leq 1 \), ta có:

\[
|-4 - a| \leq 1 \implies -5 \leq -a \leq -3 \implies 3 \leq a \leq 5
\]

\[
|4 + a| \leq 1 \implies 3 \leq a \leq -5
\]

- Từ hai điều kiện này, ta suy ra \( a = -3 \).

#### (2) Nếu \( |g(x)| \leq 1, \forall x \in [-1, 1] \)

- Tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \):

\[
g(-1) = 4(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -4 + b - c + d
\]

\[
g(1) = 4(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 4 + b + c + d
\]

- Để \( |g(x)| \leq 1 \), ta có:

\[
|-4 + b - c + d| \leq 1 \quad \text{và} \quad |4 + b + c + d| \leq 1
\]

- Xét điều kiện:

\[
-5 \leq -4 + b - c + d \leq -3 \implies -1 \leq b - c + d \leq 1
\]

\[
3 \leq b + c + d \leq -5 \implies -1 \leq b + c + d \leq 1
\]

- Từ điều kiện này, ta tìm giá trị cho các hằng số:

\[
b = 0, \quad d = 0, \quad c = -3
\]

### Kết luận

Chứng minh được:

1. \( a = -3 \)
2. \( b = 0, c = -3, d = 0 \)

Hy vọng điều này giúp đỡ trong việc giải bài toán!