Để giải phương trình \(\sin(2x + 40^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), ta sẽ tìm giá trị của \(2x + 40^\circ\).

Biết rằng \(\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(\theta\) nằm ở góc thứ ba và góc thứ tư. Các góc tương ứng sẽ là:

1. \(\theta = 240^\circ\) (góc thứ ba)
2. \(\theta = 300^\circ\) (góc thứ tư)

Vì vậy, ta có hai phương trình:

1. \(2x + 40^\circ = 240^\circ + k \cdot 360^\circ\) (với \(k \in \mathbb{Z}\))
2. \(2x + 40^\circ = 300^\circ + k \cdot 360^\circ\) (với \(k \in \mathbb{Z}\))

Từ đây, ta sẽ giải từng phương trình:

### Phương trình 1:

\[
2x + 40^\circ = 240^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
2x = 240^\circ - 40^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
2x = 200^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
x = 100^\circ + \frac{k \cdot 360^\circ}{2}
\]
\[
x = 100^\circ + 180^\circ k
\]

### Phương trình 2:

\[
2x + 40^\circ = 300^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
2x = 300^\circ - 40^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
2x = 260^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
x = 130^\circ + 180^\circ k
\]

### Kết luận

Các nghiệm tổng quát của phương trình là:

1. \(x = 100^\circ + 180^\circ k\)
2. \(x = 130^\circ + 180^\circ k\)

với \(k \in \mathbb{Z}\).