Để chứng minh rằng \( AD = AE \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với \( D \) là điểm trên \( AC \) do tia phân giác góc \( B \) (có nghĩa là \( \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} \)) và \( DE \) là đường vuông góc với \( BC \), chúng ta làm như sau:

### Giả sử

- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- \( AD = x \) và \( DC = y \).

### Phân tích lại

Do \( D \) nằm trên \( AC \) và là điểm cắt của tia phân giác góc \( B \), theo định lý phân giác:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{x}{y}
\]
Vì \( AC = AD + DC \) nên \( b = x + y \).

### Tính toán

Từ tỉ lệ trên, chúng ta có:
\[
c \cdot y = a \cdot x \Rightarrow y = \frac{a}{c} x
\]

Thay vào phương trình \( x + y = b \):
\[
x + \frac{a}{c} x = b
\]
\[
x \left(1 + \frac{a}{c}\right) = b
\]
\[
x = \frac{b}{1 + \frac{a}{c}} = \frac{bc}{c + a}
\]

Sau đó, ta tính giá trị của \( y \):
\[
y = \frac{a}{c} x = \frac{a}{c} \cdot \frac{bc}{c + a} = \frac{ab}{c + a}
\]

### Kết luận

Dễ dàng nhận thấy:
\[
AD = x = \frac{bc}{c + a}, \quad AE = DE
\]

Từ tính chất hình học trong tam giác vuông và sự vuông góc, có thể chỉ ra rằng \( AD = AE \) khi \( DE \) là chiều cao từ \( D \) đến \( BC \).

Vì vậy:
\[
AD = AE
\]

### Vẽ hình

Để vẽ hình:
1. Vẽ tam giác \( ABC \) với góc vuông tại \( A \).
2. Vẽ tia phân giác từ \( B \) cắt \( AC \) tại \( D \).
3. Vẽ đường thẳng \( DE \) vuông góc với \( BC \).

Hình vẽ sẽ giúp bạn hình dung rõ hơn và thấy rõ mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.