Để tính giá trị góc \( \hat{HAD} \) trong tam giác \( ABC \) với điều kiện \( \hat{B} - \hat{C} = 20^\circ \) và tia phân giác của \( \hat{A} \) cắt \( BC \) tại \( D \), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Đặt các góc:**
- Gọi \( \hat{B} = b \) và \( \hat{C} = c \). Theo đề bài, ta có \( b - c = 20^\circ \).
- Gọi \( \hat{A} = a \). Do tính chất của góc trong tam giác, ta có:
\[
a + b + c = 180^\circ \Rightarrow a = 180^\circ - (b + c)
\]

2. **Tính góc \( A \)**:
- Từ \( b - c = 20^\circ \), ta có thể diễn tả \( b \) và \( c \) theo \( b = c + 20^\circ \).
- Thay vào phương trình \( a \):
\[
a = 180^\circ - ((c + 20^\circ) + c) = 180^\circ - (2c + 20^\circ) = 160^\circ - 2c
\]

3. **Góc D**:
- Do \( AD \) là tia phân giác của \( \hat{A} \), theo định lý phân giác,
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

4. **Tính góc \( \hat{HAD} \)**:
- Sử dụng tính chất của góc vuông tại \( H \):
\[
\hat{HAD} = \hat{A} - \hat{DAC}
\]
- Từ định lý phân giác, \( \hat{DAC} = \frac{\hat{A}}{2} = \frac{160^\circ - 2c}{2} = 80^\circ - c \).

5. **Tính giá trị cụ thể**:
- Sử dụng \( H \):
\[
\hat{HAD} = (160^\circ - 2c) - (80^\circ - c) = 160^\circ - 2c - 80^\circ + c = 80^\circ - c
\]

Vậy, giá trị góc \( \hat{HAD} \) sẽ là \( 80^\circ - c \). Tùy thuộc vào \( \hat{C} \), có thể bạn sẽ có thêm thông tin cụ thể từ nó để tính giá trị chính xác hơn.