Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta bắt đầu với hình thoi ABCD có góc B = 60 độ.

### a) Chứng minh AE = AF

1. **Đặc tính của hình thoi**: Hình thoi có các cạnh bằng nhau, tức là AB = BC = CD = DA. Hơn nữa, các góc đối của hình thoi bằng nhau, nên góc D = góc B = 60 độ.

2. **Góc A và C**: Bởi vì tổng các góc trong hình thoi là 360 độ, do đó, góc A + góc B + góc C + góc D = 360. Với góc B = 60 độ và góc D = 60 độ, sẽ có:
\[
góc A + góc C = 360 - 60 - 60 = 240
\]
Do đó, góc A = góc C = 120 độ (bởi sang bên đối diện cũng bằng nhau).

3. **Tích phân giác**: Trong hình thoi ABCD, AE vuông góc với DC và AF vuông góc với BC. Do đó, ta có:
- AE vuông góc với DC → AE // AB (vì góc D = 60 độ)
- AF vuông góc với BC → AF // AD (vì góc A = 120 độ)

4. **Tam giác vuông**: Trong tam giác vuông AEF, góc AEF = 90 độ và góc A = 120 độ, do đó, góc EAF = 60 độ. Tương tự, trong tam giác vuông AEF tại đỉnh A, góc AEF = 90 độ và góc A = 120 độ, có nghĩa rằng AE và AF sẽ bằng nhau.

Kết luận: \[ AE = AF \].

### b) Chứng minh tam giác AEF

1. **Để chứng minh tam giác AEF là tam giác vuông**: AE vuông góc với DC, AF vuông góc với BC.

2. **Tính chất các yếu tố**: Nhìn chung, nếu AE // AB và AF // AD, đồng thời nghe được AE = AF, ta thấy rằng tam giác AEF là tam giác vuông tại A.

3. **Căn cứ vào các góc**: Vì góc AEF = 90 độ và AE = AF, nên tam giác AEF là tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau.

Kết luận: Tam giác AEF là tam giác vuông và đồng thời cũng là tam giác vuông cân.

Hy vọng rằng cách giải trên sẽ giúp bạn! Chúc bạn học tốt!