Để giải bài toán này, chúng ta có các thông tin sau:

- Cột thẳng đứng cao 14 m.
- Sợi cáp R gắn vào cột ở độ cao 14 m.
- Sợi cáp S gắn vào cột ở độ cao 12 m.
- Hai sợi cáp đều gắn xuống mặt đất tại điểm cách chân cột 15 m.

Ta cần tính tan của góc α, là góc giữa hai sợi cáp R và S.

1. **Tính chiều dài các đoạn cáp:**
- Đoạn cáp R từ điểm A (cao 14 m) xuống O (điểm tiếp xúc mặt đất) có chiều dài:
\[
AB = \sqrt{(15^2) + (14^2)} = \sqrt{225 + 196} = \sqrt{421} \text{ m}.
\]

- Đoạn cáp S từ điểm B (cao 12 m) xuống O (điểm tiếp xúc mặt đất) có chiều dài:
\[
BH = \sqrt{(15^2) + (12^2)} = \sqrt{225 + 144} = \sqrt{369} \text{ m}.
\]

2. **Tính tan góc α:**
- Ta có thể tính được tan của góc α dựa trên độ cao và khoảng cách:
\[
\tan(\alpha) = \frac{h_1 - h_2}{d},
\]
với \( h_1 = 14 \text{ m}, h_2 = 12 \text{ m}, d = 15 \text{ m} \).

Vậy:
\[
\tan(\alpha) = \frac{14 - 12}{15} = \frac{2}{15}.
\]

Vậy giá trị của \( \tan(\alpha) \) là \( \frac{2}{15} \).