Để chứng minh \( B \) chia hết cho \( 4 \), trước tiên, chúng ta tính giá trị của \( B \):

\[
B = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \ldots + 3^{100}
\]

Đây là một cộng dồn của dãy số hình học với số hạng đầu là \( 3 \) và tỷ số là \( 3 \). Công thức tổng của dãy số hình học có dạng:

\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu (ở đây \( a = 3 \)),
- \( q \) là tỷ số (ở đây \( q = 3 \)),
- \( n \) là số hạng (ở đây \( n = 100 \)).

Áp dụng vào công thức, ta có:

\[
B = 3 \frac{3^{100} - 1}{3 - 1} = 3 \frac{3^{100} - 1}{2}
\]

Do đó:

\[
B = \frac{3(3^{100} - 1)}{2}
\]

Để chứng minh \( B \) chia hết cho \( 4 \), ta cần chứng minh rằng \( \frac{3(3^{100} - 1)}{2} \) chia hết cho \( 4 \), tức là \( 3(3^{100} - 1) \) phải chia hết cho \( 8 \).

Chúng ta sẽ xét \( 3^{100} - 1 \) modulo \( 8 \):

- Ta có:
- \( 3^1 \equiv 3 \mod 8 \)
- \( 3^2 \equiv 1 \mod 8 \)

Từ đó, ta thấy rằng \( 3^2 \equiv 1 \mod 8 \) và \( 3^{2k} \equiv 1 \mod 8 \) với mọi \( k \).

Vì \( 100 \) là số chẵn, nên:

\[
3^{100} = (3^2)^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1 \mod 8
\]

Do đó:

\[
3^{100} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 8
\]

Điều này cho thấy rằng \( 3^{100} - 1 \) chia hết cho \( 8 \).

Kế tiếp, ta có:

\[
3(3^{100} - 1) \equiv 3 \cdot 0 \equiv 0 \mod 8
\]

Do đó \( 3(3^{100} - 1) \) chia hết cho \( 8 \).

Cuối cùng, vì \( \frac{3(3^{100} - 1)}{2} = B \), nên \( B \) chia hết cho \( 4 \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( B \) chia hết cho \( 4 \).