Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = |x + 10| + |x + 4| + |x - 3| + |x - 5| \), ta sẽ phân tích các điểm gẫy của các hàm giá trị tuyệt đối trong biểu thức.

Các điểm gẫy là những giá trị của \( x \) tại đó các phần tử trong dấu giá trị tuyệt đối đổi dấu. Cụ thể, ta có các điểm gẫy sau:

- \( x = -10 \) từ \( |x + 10| \)
- \( x = -4 \) từ \( |x + 4| \)
- \( x = 3 \) từ \( |x - 3| \)
- \( x = 5 \) từ \( |x - 5| \)

Vậy, các điểm cần xem xét là \( -10, -4, 3, 5 \).

Tiến hành kiểm tra giá trị của \( A \) tại các điểm trên và giữa các khoảng giữa chúng.

1. **Khoảng \( x < -10 \)**:
\[
A = -(x + 10) - (x + 4) - (x - 3) - (x - 5) = -4x + 2
\]

2. **Khoảng \( -10 \leq x < -4 \)**:
\[
A = (x + 10) - (x + 4) - (x - 3) - (x - 5) = -2x + 4
\]

3. **Khoảng \( -4 \leq x < 3 \)**:
\[
A = (x + 10) + (x + 4) - (x - 3) - (x - 5) = 2x + 8
\]

4. **Khoảng \( 3 \leq x < 5 \)**:
\[
A = (x + 10) + (x + 4) + (x - 3) - (x - 5) = 4x + 6
\]

5. **Khoảng \( x \geq 5 \)**:
\[
A = (x + 10) + (x + 4) + (x - 3) + (x - 5) = 4x + 6
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của \( A \) tại các điểm gẫy:

- \( A(-10) = |0| + |6| + |13| + |15| = 0 + 6 + 13 + 15 = 34 \)
- \( A(-4) = |6| + |0| + |7| + |9| = 6 + 0 + 7 + 9 = 22 \)
- \( A(3) = |13| + |7| + |0| + |2| = 13 + 7 + 0 + 2 = 22 \)
- \( A(5) = |15| + |9| + |2| + |0| = 15 + 9 + 2 + 0 = 26 \)

Từ các giá trị trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:
\[
\boxed{22}
\] tại \( x = -4 \) và \( x = 3 \).