Để chứng minh rằng với mọi giá trị của biến \( x \), giá trị của đa thức \( A \) luôn lớn hơn giá trị của đa thức \( B \), ta sẽ xem xét từng trường hợp một.

### a. Đa thức \( A = x^2 + 1 \) và \( B = 2x - 3 \)

Ta cần chứng minh rằng:
\[
x^2 + 1 > 2x - 3
\]

Sắp xếp lại bất đẳng thức trên:
\[
x^2 - 2x + 1 > -3
\]
\[
x^2 - 2x + 4 > 0
\]

Xét đa thức bậc hai \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \). Ta sẽ kiểm tra dấu của đa thức này.

Tính nghiệm của phương trình:
\[
x^2 - 2x + 4 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}
\]

Vì phương trình này không có nghiệm thực (có nghiệm phức), nên đa thức \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \) (do hệ số của \( x^2 \) là dương).

Vậy:
\[
x^2 + 1 > 2x - 3 \quad \text{với mọi } x
\]

### b. Đa thức \( A = x^2 + x - 2 \) và \( B = -3x^2 + 9x - 16 \)

Ta cần chứng minh rằng:
\[
x^2 + x - 2 > -3x^2 + 9x - 16
\]

Sắp xếp lại:
\[
x^2 + x - 2 + 3x^2 - 9x + 16 > 0
\]
\[
4x^2 - 8x + 14 > 0
\]

Rút gọn:
\[
2x^2 - 4x + 7 > 0
\]

Xét đa thức \( g(x) = 2x^2 - 4x + 7 \). Tương tự, ta tính nghiệm của phương trình:
\[
2x^2 - 4x + 7 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{-40}}{4} = 1 \pm \frac{i\sqrt{10}}{2}
\]

Phương trình này cũng không có nghiệm thực, nên đa thức \( g(x) = 2x^2 - 4x + 7 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

Vậy
\[
x^2 + x - 2 > -3x^2 + 9x - 16 \quad \text{với mọi } x
\]

### Kết luận

- Ta đã chứng minh thành công rằng với mọi giá trị của biến \( x \):
- Trong trường hợp (a): \( x^2 + 1 > 2x - 3 \)
- Trong trường hợp (b): \( x^2 + x - 2 > -3x^2 + 9x - 16 \)

Cả hai đa thức đều thỏa mãn yêu cầu.