Để phân tích các đa thức sau thành nhân tử, ta sẽ làm từng phần một:

### Câu 1

a) \( x^2 - 5xy - x - 5y \)

Ta có thể nhóm các hạng tử:

\[
x^2 - 5xy - x - 5y = (x^2 - 5xy) + (-x - 5y)
\]

Ta có thể lấy \( x \) ra ngoài cho hạng tử đầu tiên và \( -1 \) ra ngoài cho hạng tử thứ hai:

\[
= x(x - 5y) - 1(x + 5y)
\]

Tiếp theo, ta có thể viết lại nó như sau:

\[
= (x - 1)(x - 5y)
\]

b) \( x^2 + 2xy - xz + y^2 \)

Ta nhóm lại như sau:

\[
= x^2 + (2y - z)x + y^2
\]

Đây là một đa thức bậc hai theo \( x \). Ta có thể tính delta (\( D \)):

\[
D = (2y - z)^2 - 4y^2 = z^2 - 4y(z - y)
\]

Nếu \( D \geq 0 \), ta có thể phân tích thành nhân tử. Nếu không, sẽ không thể phân tích được.

### Câu 3

a) \( x(x + 3) - 9 \)

Ta có thể viết lại:

\[
= x(x + 3) - 3^2
\]

Sử dụng hằng đẳng thức:

\[
= (x - 3)(x + 3)
\]

b) \( (x - 5)^2 = 4x^2 \)

Ta đổi phương trình:

\[
(x - 5)^2 - 4x^2 = 0
\]

Đưa về dạng:

\[
(x - 5 - 2x)(x - 5 + 2x) = 0 \implies (-x - 5)(x - 5) = 0
\]

### Câu 4

a) Để chứng minh hình chữ nhật, sử dụng tính chất đối diện của ba cạnh và xem xét rằng các góc vuông là bằng nhau.

b) Nếu \( E \) trên \( CD \) sao cho \( \triangle ABD = \triangle BAE \), chứng minh rằng \( \triangle ABE \cong \triangle ABC \) bằng định lý đồng dạng.

### Câu 5

Chứng minh \( (a + b + c)^2 = 3(ab + ac + bc) \) dẫn đến \( a = b = c \):

- Bằng cách phát triển \( (a + b + c)^2 \) sẽ cho kết quả là \( a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \).
- Nếu tổng này bằng \( 3(ab + ac + bc) \), suy ra \( a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0 \) (sử dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc biến đổi tương tự).

Nếu bạn cần thêm chi tiết hoặc hướng dẫn về từng phần, hãy cho tôi biết!