Để tìm các giá trị của \( a \) và \( b \) trong hệ phương trình đã cho, ta sẽ thay nghiệm \( (x, y) = (2, -1) \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
ax - 2y = b \\
2x - by = -2a
\end{cases}
\]

Thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \):

1. Phương trình đầu tiên:

\[
a(2) - 2(-1) = b \implies 2a + 2 = b \tag{1}
\]

2. Phương trình thứ hai:

\[
2(2) - b(-1) = -2a \implies 4 + b = -2a \implies b = -2a - 4 \tag{2}
\]

Giờ ta có hai phương trình:

1. \( b = 2a + 2 \) (từ phương trình (1))
2. \( b = -2a - 4 \) (từ phương trình (2))

Bây giờ ta có thể đặt phương trình này bằng nhau:

\[
2a + 2 = -2a - 4
\]

Giải phương trình trên:

\[
2a + 2a = -4 - 2 \implies 4a = -6 \implies a = -\frac{3}{2}
\]

Thay giá trị của \( a \) vào phương trình (1) để tìm \( b \):

\[
b = 2(-\frac{3}{2}) + 2 = -3 + 2 = -1
\]

Vậy các giá trị của \( a \) và \( b \) là:

\[
\boxed{a = -\frac{3}{2}, b = -1}
\]