a) Để chứng minh tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau.

Đầu tiên, ta có:

- \(O\) là trung điểm của đoạn \(AC\) nên \(AO = OC\).
- Từ định nghĩa điểm \(E\) trên tia đối của tia \(OB\) sao cho \(OB = OE\), ta có \(OE = OB\).

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \(ABCE\):

- **Xét cặp cạnh \(AB\) và \(CE\)**:

Ta có:
\[
AE = AO + OE = AO + OB = AO + OC = AC
\]
Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AO = OC\), suy ra \(AB = AE\) (do \(AB < AC\) và \(O\) là trung điểm).

Do đó:
\[
AB = CE
\]

- **Xét cặp cạnh \(BC\) và \(AE\)**:

Ta cũng có:
\[
AB + BC = AC
\]
Vì trên nhiều phương diện, \(AB\) và \(AC\) là hai cạnh của tam giác \(ABC\). Với \(E\) được chọn sao cho \(OB = OE\), ta có thể nhận thấy rằng \(BC\) sẽ song song với \(AE\).

Từ đó, ta kết luận rằng \(AB \parallel CE\) và \(BC \parallel AE\), đồng thời \(AB = CE\) và \(BC = AE\).
Chính vì vậy, tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành.

b) Để chứng minh \(AH = CK\), trước hết, ta sẽ phân tích từng bước:

- \(H\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ \(A\) xuống \(BC\).
- \(K\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ \(C\) xuống \(AE\).

Vì \(AH\) là chiều dài vuông góc từ \(A\) đến \(BC\), và \(CK\) là chiều dài vuông góc từ \(C\) đến \(AE\), ta có:

1. \(AH\) vuông góc với \(BC\).
2. \(CK\) vuông góc với \(AE\).

Do hai cặp cạnh \(AB\) và \(CE\) song song (theo định lý hình bình hành) và \(BC\) vuông góc với \(AE\) ở \(K\) nên hai tia \(AH\) và \(CK\) cũng song song và cùng chiều cao.

Vì vậy, cho nên chiều dài \(AH\) bằng chiều dài \(CK\):
\[
AH = CK
\]

Tóm lại, nhờ vào các tính chất của hình bình hành và các đường vuông góc, chúng ta đã chứng minh rằng:
1. Tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành.
2. \(AH = CK\).