Để giải phương trình sau:

\[
\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} \sin 2x
\]

Chúng ta tiến hành các bước như sau:

1. Sử dụng công thức bất đẳng thức:

\[
\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x
\]

Vì vậy, ta có:

\[
1 - 2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin 2x
\]

2. Nhận thấy rằng \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), do đó:

\[
\frac{1}{2} \sin 2x = \sin x \cos x
\]

3. Thay vào phương trình:

\[
1 - 2\sin^2 x \cos^2 x = \sin x \cos x
\]

4. Đặt \(y = \sin x \cos x\), và nhớ rằng \(\sin^2 x \cos^2 x = y^2\). Vậy ta có:

\[
1 - 2y^2 = y
\]

5. Chuyển về dạng phương trình bậc hai:

\[
2y^2 + y - 1 = 0
\]

6. Giải phương trình bậc hai này bằng công thức:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}
\]

7. Điều này cho ta hai giá trị:

\[
y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad y_2 = \frac{-4}{4} = -1
\]

8. Vì \(y = \sin x \cos x\) (nằm trong khoảng [-0.5, 0.5]), chỉ có giá trị \(y = \frac{1}{2}\) là hợp lệ.

9. Từ đó, ta có:

\[
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \implies \sin 2x = 1
\]

10. Điều này dẫn đến:

\[
2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
\]