Để giải bài toán trên, bạn có thể làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành:

1. **Giả thiết**: \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( OD = OB \). Điều này có nghĩa là đoạn thẳng \( OD \) và \( OB \) có độ dài bằng nhau.

2. **Sử dụng tính đối xứng**: Vì \( O \) là trung điểm của \( AC \), nên ta có \( AO = OC \).

3. **Tính chất của tam giác cân**: Với \( OD = OB \), tam giác \( OBD \) là tam giác cân có \( OB = OD \).

4. **Thế cần chứng minh**: Chứng minh rằng \( AD \parallel BC \) và \( AB \parallel CD \) để xác định rằng \( ABCD \) là hình bình hành.

### b) Xác định các điểm \( M \) và \( N \):

1. Chọn các điểm \( M \) và \( N \) trên cạnh \( BC \) sao cho \( BM = MN = NC \).

2. **Chứng minh talean**: Tia \( NO \) cắt \( AD \) và \( AB \) lần lượt tại \( I \) và \( K \).

3. **Những đẳng thức**: Do tính chất của hình bình hành, có thể chỉ ra rằng \( AI = NC \) và \( AM \parallel IN \) bằng cách sử dụng tính chất đường thằng song song và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.

### Bài làm chi tiết:

1. Tính chất hình bình hành: Trong một tứ giác, nếu một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, nó là hình bình hành.

2. Sử dụng định lý: Sử dụng các định lý liên quan đến tam giác và hình học phẳng để củng cố các tính chất đã chỉ ra ở trên.

Tóm lại, bạn cần xác định rõ ràng các bước và sử dụng các tính chất hình học cơ bản để giải quyết bài toán. Chúc bạn thành công!