Để chứng minh rằng 4 điểm \( A, M, H, N \) cùng nằm trên một đường tròn tâm \( O \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh 4 điểm A, M, H, N cùng nằm trên một đường tròn tâm O

1. **Giả thiết và ký hiệu**:
- Gọi \( BM \) là đường cao từ đỉnh \( B \) xuống cạnh \( AC \).
- Gọi \( CN \) là đường cao từ đỉnh \( C \) xuống cạnh \( AB \).
- Hai đường cao này cắt nhau tại \( H \).

2. **Tính chất về góc**:
- Vì \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( BM \) và \( CN \), nên \( BH \perp AC \) và \( CH \perp AB \).
- Do đó, ta có:
\[
\angle BHA = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle NHC = 90^\circ
\]

3. **Hệ quả về vòng tròn**:
- Xét tứ giác \( AMHN \):
- Ta có \( \angle AMH = 90^\circ \) và \( \angle ANH = 90^\circ \).
- Từ đó, theo định lý về tứ giác nội tiếp, ta suy ra rằng \( AMHN \) là tứ giác nội tiếp một đường tròn, nghĩa là 4 điểm \( A, M, H, N \) cùng nằm trên một đường tròn.

### b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh IM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

1. **Xét đoạn thẳng IM**:
- Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

2. **Tính chất về tiếp tuyến**:
- Để chứng minh \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh rằng \( IM \) vuông góc với bán kính \( OH \) tại điểm \( M \).

3. **Tính chất về góc**:
- Trong tứ giác \( AMHN \), vì \( H \) là điểm chung, ta có:
\[
\angle AMH + \angle ANH = 180^\circ
\]
- Chúng ta đã chứng minh \( \angle AMH = 90^\circ \) và \( \angle ANH = 90^\circ \), nên \( AH \) là đường kính của đường tròn.

4. **Kết luận**:
- Bởi vì \( I \) là trung điểm của \( BC \) và \( M \) là chân đường cao từ \( B \), \( IM \) sẽ vuông góc với \( OH \), từ đó \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

Như vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.