Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán đã cho, ta sẽ dùng các tính chất của tam giác và một số công thức hình học cơ bản. Dưới đây là các chứng minh cho từng yêu cầu:

### a) AM là tia phân giác góc BAC

1. Ta có \( AB = AC \), tức là tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \).
2. Gọi \( N \) là trung điểm của \( BC \). Khi đó, \( BN = NC \).
3. Vì \( MB = MC \) và \( M \) nằm trên tia phân giác \( AM \), ta có \( AM \) sẽ chia góc \( BAC \) thành hai góc bằng nhau.
4. Vậy \( AM \) là tia phân giác của góc \( BAC \).

### b) Ba điểm \( A, M, N \) thẳng hàng

1. Từ \( AM \) là tia phân giác, ta có thể sử dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác.
2. Việc \( MB = MC \) cho thấy rằng điểm \( M \) nằm trên đường thẳng nối \( B \) và \( C \) một cách đối xứng.
3. Do đó, điểm \( N \) là trung điểm của \( BC \) đồng nghĩa với việc \( A, M, N \) đều nằm trên một đường thẳng.
4. Vậy \( A, M, N \) thẳng hàng.

### c) MN vuông góc với BC

1. Từ phần b), ta biết rằng \( A, M, N \) thẳng hàng.
2. Tại điểm \( N \), vì \( N \) là trung điểm của \( BC \), nên \( MN \) sẽ vuông góc với \( BC \) (do \( AM \) là tia phân giác).
3. Các góc \( \angle MNB \) và \( \angle MNC \) đều bằng 90 độ.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng:

- AM là tia phân giác góc BAC.
- Ba điểm A, M, N thẳng hàng.
- MN vuông góc với BC.

Đó chính là các yêu cầu của bài toán.