Để giải quyết bài toán này, trước tiên ta cần xác định năng suất của từng đội và thời gian làm việc của họ.

Giả sử:

- Năng suất của đội 1 là \( A \) (phần của căn nhà hoàn thành trong một ngày).
- Năng suất của đội 2 là \( B \) (phần của căn nhà hoàn thành trong một ngày).

Theo thông tin ban đầu, khi làm chung, 2 đội sẽ hoàn thành căn nhà trong 12 ngày, tức là:

\[
A + B = \frac{1}{12} \quad \text{(1)}
\]

Sau đó, hai đội làm chung trong 9 ngày, do đó công việc đã hoàn thành là:

\[
9(A + B) = 9 \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{4}
\]

Như vậy, sau 9 ngày, công việc còn lại là:

\[
1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
\]

Tiếp theo, đội 1 rời đi và đội 2 tiếp tục làm việc. Ta biết rằng đội 2 tăng năng suất gấp đôi, vậy năng suất của đội 2 bây giờ trở thành \( 2B \).

Thời gian đội 2 hoàn thành công việc còn lại là 3,5 ngày, tức là:

\[
3.5 \cdot 2B = \frac{1}{4}
\]

Từ đó ta suy ra \( 2B \):

\[
2B = \frac{1}{4} \div 3.5 = \frac{1}{4} \div \frac{7}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1}{14}
\]

Vậy \( B = \frac{1}{28} \).

Bây giờ ta có thể tìm giá trị của \( A \):

Từ phương trình (1):

\[
A + \frac{1}{28} = \frac{1}{12}
\]

Chuyển \( \frac{1}{28} \) sang bên phải:

\[
A = \frac{1}{12} - \frac{1}{28}
\]

Để thực hiện phép trừ này, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 12 và 28 là 84:

\[
\frac{1}{12} = \frac{7}{84}, \quad \frac{1}{28} = \frac{3}{84}
\]

Suy ra:

\[
A = \frac{7}{84} - \frac{3}{84} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}
\]

Vậy là:

- Năng suất của đội 1 \( A = \frac{1}{21} \)
- Năng suất của đội 2 \( B = \frac{1}{28} \)

Tóm lại, đội 1 hoàn thành được \( \frac{3}{4} \) của công trình sau 9 ngày và đội 2 với năng suất gấp đôi sau khi đội 1 rời đi đã hoàn thành phần còn lại trong 3,5 ngày.