Thực hiện phép tính? Cho các đa thức. Tìm bậc và hệ số tự do của đa thức \(M, N\)? Tính \(M + N, M - N\)

Để giải quyết bài toán trên, trước tiên chúng ta sẽ xác định bậc và hệ số tự do của các đa thức \(M\) và \(N\).

### a) Tìm bậc và hệ số tự do của đa thức \(M\) và \(N\)

1. **Đa thức \(M = 3x^2y + 5xy^3\)**:
- Các bậc của từng hạng mục:
- \(3x^2y\) có bậc tổng là \(2 + 1 = 3\).
- \(5xy^3\) có bậc tổng là \(1 + 3 = 4\).
- Bậc của \(M\) là \(4\) (hạng mục có bậc cao nhất là \(5xy^3\)).
- Hệ số tự do: Không có hạng mục nào không có \(x\) và \(y\), vậy hệ số tự do là \(0\).

2. **Đa thức \(N = -4y^2 + 6x^2y - 1\)**:
- Các bậc của từng hạng mục:
- \(-4y^2\) có bậc là \(2\).
- \(6x^2y\) có bậc tổng là \(2 + 1 = 3\).
- \(-1\) là hạng mục tự do, có bậc là \(0\).
- Bậc của \(N\) là \(3\) (hạng mục có bậc cao nhất là \(6x^2y\)).
- Hệ số tự do là \(-1\).

### b) Tính \(M + N\) và \(M - N\)

1. **Tính \(M + N\)**:
\[
M + N = (3x^2y + 5xy^3) + (-4y^2 + 6x^2y - 1)
\]
- Nhóm hạng mục tương ứng:
\[
M + N = (3x^2y + 6x^2y) + 5xy^3 - 4y^2 - 1 = 9x^2y + 5xy^3 - 4y^2 - 1
\]

2. **Tính \(M - N\)**:
\[
M - N = (3x^2y + 5xy^3) - (-4y^2 + 6x^2y - 1)
\]
- Nhóm hạng mục tương ứng:
\[
M - N = (3x^2y - 6x^2y) + 5xy^3 + 4y^2 + 1 = -3x^2y + 5xy^3 + 4y^2 + 1
\]

### Kết luận

- Bậc và hệ số tự do của các đa thức:
- Bậc của \(M\): \(4\), Hệ số tự do của \(M\): \(0\)
- Bậc của \(N\): \(3\), Hệ số tự do của \(N\): \(-1\)

- Kết quả các phép toán:
- \(M + N = 9x^2y + 5xy^3 - 4y^2 - 1\)
- \(M - N = -3x^2y + 5xy^3 + 4y^2 + 1\)