Để giải quyết bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng bước.

### a) Vẽ hình

Trước tiên, chúng ta cần vẽ hình thang ABCD với AB // CD, trong đó AB = 2CD. Chúng ta cũng cần vẽ các tia AD và BC, sao cho chúng cắt nhau tại điểm I. Cuối cùng, đánh dấu M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD.

1. Vẽ một đoạn thẳng AB dài hơn đoạn CD, sao cho AB có chiều dài gấp đôi CD.
2. Vẽ đường thẳng CD song song với AB ở phía dưới, sao cho CD là đường thẳng ngắn hơn và nằm ngay bên dưới.
3. Vẽ các tia AD và BC sao cho chúng cắt nhau tại điểm I.
4. Tính toán và đánh dấu các điểm M và N là trung điểm của AB và CD.

### b) Chứng minh các tứ giác ADCM, BCDM, CIDM là hình bình hành

**Chứng minh tứ giác ADCM là hình bình hành:**

- M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD.
- Ta có:
- \(AM = MB\) (vì M là trung điểm).
- \(DN = NC\) (vì N là trung điểm).
- Theo tính chất của hình thang, đường thẳng AD và BC cắt nhau tại I, tạo thành các cặp cạnh đối diện song song.
- Ta có: \(AD\) song song với \(BC\).
- Vậy, theo định nghĩa hình bình hành, ADCM là hình bình hành (cạnh đối song song và có chiều dài bằng nhau).

**Chứng minh tứ giác BCDM là hình bình hành:**

- Tương tự như trên, ta lại có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD.
- Ta cũng có:
- \(BM = MA\)
- \(NC = ND\)
- Với sự song song của các cạnh AD và BC, ta cũng thấy BCDM sẽ có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó BCDM cũng là hình bình hành.

**Chứng minh tứ giác CIDM là hình bình hành:**

- Nish địa lý cho ta:
- Gọi \(C'(N)\) là điểm đối xứng của \(C\) qua điểm \(I\).
- Khi đó, từ định nghĩa trên, có:
- \(CM = MI\) (vì M là trung điểm của AB).
- \(CI' = MI\) (vì I là điểm cắt giữa AD và BC).
- Do đó, CIDM cũng là hình bình hành do có thể vẽ lại hai cặp cạnh bẳng nhau của nó (chúng song song).

### c) N là trung điểm của MI

Từ định nghĩa về trung điểm, nếu M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, thì M và N sẽ nằm ở vị trí đặc trưng giữa nhau, tạo thành suất số hai lần của thang. Như vậy, với vị trí cắt I của AD và BC ta có:

- \( MI = N \Rightarrow N là trung điểm của MI\).

Vì vậy, điểm N thực sự là trung điểm của đoạn MI trong tứ giác đã chứng minh, xác nhận tính toán của chúng ta.

Tóm lại, ta đã thực hiện vẽ hình, chứng minh các tứ giác như yêu cầu và điểm N là trung điểm của MI.