Để chứng minh rằng BGCH là hình thoi trong tam giác ABC cân tại A, chúng ta sẽ sử dụng các định nghĩa và tính chất của hình thoi cũng như tính chất của các đường trung tuyến trong tam giác.

### Bước 1: Vẽ hình và thiết lập các ký hiệu
- Gọi A là đỉnh ở trên cùng của tam giác ABC, B và C là hai đỉnh còn lại (với AB = AC).
- BM là trung tuyến từ B và CN là trung tuyến từ C. Hai trung tuyến này cắt nhau tại G.
- Vẽ đường thẳng qua B song song với CN (gọi là đường thẳng t) và đường thẳng qua C song song với BM (gọi là đường thẳng s). Hai đường thẳng này cắt nhau tại H.

### Bước 2: Chứng minh các cặp cạnh song song
- Theo tính chất của đường thẳng song song:
- Do BH // CN (vì BH được vẽ song song với CN) và CN là trung tuyến, nên các cặp cạnh BG và CH sẽ tương đương về tỉ lệ (theo định lý đường trung tuyến).
- Tương tự, do CH // BM, nên BG // HC.

### Bước 3: Chứng minh độ dài các cạnh
- Vì ABC là tam giác cân tại A, và BM, CN là hai trung tuyến, nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, chúng ta có tính chất:
- \( BG = \frac{1}{2} \cdot BC \)
- \( CH = \frac{1}{2} \cdot AC \)

Do đó, theo định lý đồng dạng trong tam giác, ta có:
\[
BG = CH
\]

### Bước 4: Chứng minh các góc
- Vì BH // CN và CH // BM, ta có:
- ∠BHG = ∠CGH (góc đồng vị)
- ∠BGC = ∠HGB (góc đồng vị)

### Bước 5: Kết luận
- Từ các điểm trên, chúng ta thấy rằng:
- BG // CH và BG = CH (cùng độ dài).
- GH // BH và GH = BH (cùng độ dài).

Do đó ta vừa chứng minh được rằng BGCH là hình thoi. Hình thoi là hình tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, điều này được thỏa mãn trong trường hợp này.

Kết luận: BGCH là hình thoi.