Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( OA \perp MN \)

1. **Xét tam giác \( OAM \)**: Vì \( AM \) là tiếp tuyến tại \( M \) nên \( OM \perp AM \). Tương tự, ta có \( ON \perp AN \) vì \( AN \) cũng là tiếp tuyến tại \( N \).

2. **Tam giác và tính chất tiếp tuyến**: Do \( OA \) là đường nối từ tâm đến điểm bên ngoài đường tròn, \( OA \) sẽ cắt \( MN \) tại điểm vuông góc. Do đó, \( OA \perp MN \).

### b) Vẽ đường kính \( NC \) và chứng minh rằng \( MC \parallel AO \)

1. **Vẽ đường kính \( NC \)**: Gọi \( C \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \). Bởi vì \( O \) nằm bên trong đoạn thẳng, ta có đường kính \( NC \) vuông góc với \( MN \).

2. **Chứng minh \( MC \parallel AO \)**:
- Từ tính chất của đường kính và tiếp tuyến, \( OM \perp AM \) và \( ON \perp AN \), suy ra hai đoạn thẳng này tạo thành các góc tương ứng với \( OA \) và \( OC \).
- Như vậy, do \( OA \perp MN \) và \( OC \perp MN \), ta có \( MC \parallel AO \).

### c) Tính các cạnh của tam giác \( AMN \)

1. **Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( OAM \)**:
\[
OA^2 = OM^2 + AM^2
\]
Thay \( OA = 5 \, \text{cm} \) và \( OM = 3 \, \text{cm} \):
\[
5^2 = 3^2 + AM^2 \implies 25 = 9 + AM^2 \implies AM^2 = 16 \implies AM = 4 \, \text{cm}
\]

2. **Tương tự cho \( AN \)**: Vì \( AN = AM \) (hai tiếp tuyến từ điểm ngoài đường tròn đến cùng một đường tròn có độ dài bằng nhau), nên \( AN = 4 \, \text{cm} \).

3. **Tính chiều dài \( MN \)**: Với \( MN = AM + AN \):
\[
MN = 4 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}
\]

**Tóm lại:**
- \( AM = AN = 4 \, \text{cm} \)
- \( MN = 8 \, \text{cm} \)
- \( OA = 5 \, \text{cm} \)
- \( OM = 3 \, \text{cm} \)