Cho tan - cot = 3. Tính giá trị của biểu thức P = tan + cot

Gọi \( t = \tan \) và \( c = \cot \). Theo giả thiết, ta có:

\[
t - c = 3
\]

Biết rằng \( c = \frac{1}{t} \), nên thay vào phương trình trên:

\[
t - \frac{1}{t} = 3
\]

Nhân cả hai vế với \( t \) (với giả định \( t \neq 0 \)):

\[
t^2 - 1 = 3t
\]

Sắp xếp lại phương trình:

\[
t^2 - 3t - 1 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}
\]

Vậy \( t \) có 2 giá trị:

\[
t_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \quad t_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}
\]

Tính \( c \):

\[
c_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{2}{3 + \sqrt{13}}, \quad c_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{2}{3 - \sqrt{13}}
\]

Giờ tính giá trị của \( P = t + c \):

\[
P = t + c = t + \frac{1}{t}
\]

Áp dụng công thức \( t + \frac{1}{t} = \frac{t^2 + 1}{t} \).

Vì \( t^2 = 3t + 1 \) từ phương trình bậc hai ban đầu, ta có:

\[
t^2 + 1 = 3t + 1 + 1 = 3t + 2
\]

Do đó:

\[
P = t + \frac{1}{t} = \frac{3t + 2}{t} = 3 + \frac{2}{t}
\]

Tính giá trị \( \frac{2}{t} \) với \( t_1 \) và \( t_2 \):

1. Với \( t_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \):

\[
P_1 = 3 + \frac{2}{\frac{3 + \sqrt{13}}{2}} = 3 + \frac{4}{3 + \sqrt{13}}
\]

2. Với \( t_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \):

\[
P_2 = 3 + \frac{2}{\frac{3 - \sqrt{13}}{2}} = 3 + \frac{4}{3 - \sqrt{13}}
\]

Với \( t > 0 \), ta chỉ cần tính cho \( t_1 \):

\[
P = 3 + \frac{4}{3 + \sqrt{13}}
\]

Ngoài ra, vì đối với trường hợp \( t = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \) và \( c = \frac{1}{t} \), cả đều dương nên tính ra thì ta sẽ có giá trị của \( P \):

Tính giá trị cuối cùng cho \( P \).

Ta có:

\[
P \approx 3 + 0.377 = 3.377
\]

Do đó, giá trị của biểu thức \( P = t + c \) là \( P = 3 + \frac{4}{3 + \sqrt{13}} \).

Kết quả cuối cùng:

\[
P = 3 + \frac{4}{3 + \sqrt{13}} \approx 4.377
\]

Tóm lại, giá trị của biểu thức \( P = t + c \) là \( P \approx 4.302 \).