Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = ab + bc + 2ca \) với điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 \leq 8 \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để nghiên cứu biểu thức này trong mối liên hệ với điều kiện đã cho.

Trước tiên, chúng ta có thể thay đổi cách viết S bằng cách suy diễn ra các giá trị có thể của \( a, b, c \).

### Bước 1: Tìm giá trị của S
Biểu thức \( S \) có thể được viết lại như sau:

\[ S = ab + bc + 2ca = c(a + b) + ab \]

### Bước 2: Sử dụng điều kiện cho a, b, c
Dựa trên điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 \leq 8 \), ta có thể chọn các giá trị cho \( a, b, c \) sao cho thỏa mãn điều này và thử nghiệm những giá trị khác nhau cho \( S \) để tìm ra giá trị nhỏ nhất.

### Bước 3: Tính toán một số trường hợp
- **Thử với \( a = 0, b = 0, c = 2 \)**:
\[
S = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \cdot 2 = 0
\]
Thỏa mãn \( 0^2 + 0^2 + 2^2 = 4 \leq 8 \).

- **Thử với \( a = 0, b = 0, c = \sqrt{8} \)**:
\[
S = 0 \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{8} + 2 \cdot 0 \cdot \sqrt{8} = 0
\]
Thỏa mãn \( 0^2 + 0^2 + (\sqrt{8})^2 = 8 \).

- **Thử với các giá trị khác**:
Nếu ta thử với \( a = 2, b = 2, c = 0 \):
\[
S = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 4
\]
Thỏa mãn \( 2^2 + 2^2 + 0^2 = 8 \).

### Bước 4: So sánh
Xét các trường hợp nghiên cứu, giá trị nhỏ nhất của \( S \) trong các trường hợp thử nghiệm là \( 0 \). Tuy nhiên, chúng ta cũng cần đảm bảo rằng không có cách nào khác có thể cho ra giá trị nhỏ hơn.

### Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = ab + bc + 2ca \) dưới điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 \leq 8 \) là **0**. Các giá trị \( a = 0, b = 0, c = 2 \) hoặc \( a = 0, b = 0, c = \sqrt{8} \) là một trong những bộ giá trị thỏa mãn.