Để giải bài toán, chúng ta trước tiên cần tìm giá trị của tổng \( A = 1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^{2021} \).

Đây là một cấp số nhân với:

- Số hạng đầu \( a = 1 \)
- Công bội \( r = 4 \)
- Số hạng cuối là \( 4^{2021} \)

Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = \frac{a \cdot (r^n - 1)}{r - 1}
\]

Trong đó \( n \) là số hạng. Ở đây, số hạng cuối là \( n = 2022 \) (vì bắt đầu từ \( 4^0 \) đến \( 4^{2021} \)).

Áp dụng vào công thức, ta có:

\[
A = \frac{1 \cdot (4^{2022} - 1)}{4 - 1} = \frac{4^{2022} - 1}{3}
\]

Tiếp theo, ta cần so sánh \( 3A \) với \( 2^{4044} \):

\[
3A = 3 \cdot \frac{4^{2022} - 1}{3} = 4^{2022} - 1
\]

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \( 4^{2022} - 1 \) với \( 2^{4044} \):

Nhận thấy rằng \( 4^{2022} = (2^2)^{2022} = 2^{4044} \). Do đó:

\[
4^{2022} - 1 = 2^{4044} - 1
\]

Từ đó, rõ ràng:

\[
4^{2022} - 1 < 2^{4044}
\]

Kết luận:

\[
3A < 2^{4044}
\]

Vậy, ta có thể viết ngắn gọn:

\[
3A < 2^{4044}
\]