Để chứng minh \( C = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{20} \) chia hết cho 5, 6 và 13, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh \( C \) chia hết cho 5:

Ta có thể viết lại \( C \) là một cấp số nhân:
\[
C = 5(1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{19}).
\]
Cấp số nhân bên trong có công thức tổng:
\[
1 + r + r^2 + \ldots + r^n = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1).
\]
Áp dụng cho \( r = 5 \) và \( n = 19 \):
\[
1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{19} = \frac{5^{20} - 1}{4}.
\]
Vậy
\[
C = 5 \cdot \frac{5^{20} - 1}{4}.
\]
Rõ ràng \( 5 \) là một yếu tố trong \( C \), do đó \( C \) chia hết cho 5.

### b) Chứng minh \( C \) chia hết cho 6:

Để kiểm tra tính chia hết cho 6, ta cần kiểm tra xem \( C \) có chia hết cho 2 và 3 hay không.

- **Chia hết cho 2**:
Nhìn vào \( C \), mọi số hạng đều là bội số của 5. Thêm vào đó, ta xét \( 5 \equiv 1 \mod 2 \).
Vì vậy, số hạng huyền ảo là:
\[
C \equiv 20 \cdot 1 \equiv 0 \mod 2.
\]
Do đó, \( C \) chia hết cho 2.

- **Chia hết cho 3**:
Để kiểm tra tính chia hết cho 3:
\[
5 \equiv 2 \mod 3.
\]
Ta có dãy số:
\[
C \equiv 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20}.
\]
Tương tự, áp dụng công thức tổng cấp số nhân:
\[
= 2 \cdot \frac{2^{20} - 1}{1} = 2^{21} - 2.
\]
Thay vào:
\[
2^{21} \equiv 0 \mod 3 \implies C \equiv 0 \mod 3.
\]

Vậy \( C \) chia hết cho 6.

### c) Chứng minh \( C \) chia hết cho 13:

Ta sẽ tính \( C \) modulo 13:
- Đầu tiên, \( 5^{12} \equiv 1 \mod 13 \) (theo định lý Fermat).
- Do đó, \( 5^{20} \equiv 5^8 \mod 13 \).

Ta tính các lũy thừa của 5 modulo 13:
- \( 5^1 \equiv 5 \)
- \( 5^2 \equiv 12 \)
- \( 5^3 \equiv 8 \)
- \( 5^4 \equiv 1 \) (lặp lại từ đây).

Tổng hợp lại các số hạng:
\[
C = 5 + 12 + 8 + 1 + 5 + 12 + 8 + 1 + \ldots
\]
Có tất cả 20 số hạng, nhóm 4 số một lần từ \( 5, 12, 8, 1 \):
\[
(5 + 12 + 8 + 1) = 26 \equiv 0 \mod 13.
\]
Như vậy:
\[
C \equiv 0 \mod 13.
\]

### Kết luận
Ta có thể kết luận rằng:
- a) \( C \) chia hết cho 5.
- b) \( C \) chia hết cho 6.
- c) \( C \) chia hết cho 13.