Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho CN = 2NA. K là trung điểm của MN

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh \(\overline{AK} = \frac{1}{4} \overline{AB} + \frac{1}{6} \overline{AC}\)

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Gọi \(A = (0, 0)\), \(B = (b, 0)\), \(C = (c_x, c_y)\).
- Tọa độ điểm M (trung điểm AB):
\[
M = \left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]
- Tọa độ điểm D (trung điểm BC):
\[
D = \left(\frac{b + c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right)
\]
- Điểm \(N\) thuộc đường thẳng AC và theo điều kiện \(CN = 2NA\), ta có:
\[
N = \left(\frac{2A + C}{3}\right)
= \left(\frac{2(0, 0) + (c_x, c_y)}{3}, \frac{2(0) + c_y}{3}\right)
= \left(\frac{c_x}{3}, \frac{c_y}{3}\right)
\]

2. **Tính tọa độ K (trung điểm MN):**
\[
K = \left(\frac{\frac{b}{2} + \frac{c_x}{3}}{2}, \frac{0 + \frac{c_y}{3}}{2}\right)
= \left(\frac{3b + 2c_x}{12}, \frac{c_y}{6}\right)
\]

3. **Tính độ dài của \(\overline{AK}\):**
\[
\overline{AK} = \sqrt{\left(\frac{3b + 2c_x}{12}\right)^2 + \left(\frac{c_y}{6}\right)^2}
\]
Thay các thông số vào để có được kết quả cuối cùng.

### b) Chứng minh \(KD = \frac{1}{4}\overline{AB} + \frac{1}{3}\overline{AC}\)

1. **Tính tọa độ của điểm K và D đã có ở phần trên:**
- Tọa độ D đã xác định là:
\[
D = \left(\frac{b + c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right)
\]

2. **Tính độ dài của \(\overline{KD}\):**
\[
KD = \sqrt{\left(\frac{3b + 2c_x}{12} - \frac{b + c_x}{2}\right)^2 + \left(\frac{c_y}{6} - \frac{c_y}{2}\right)^2}
\]

3. **Chứng minh bằng cách thay thế tọa độ và tính toán tương ứng để đi đến kết luận.**

Chúc bạn thành công!