Chứng minh năm điểm \(A, D, M, H, E\) cùng nằm trên một đường tròn có thể thực hiện như sau:

1. **Xác định các điểm**: Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống cạnh \(BC\). Điểm \(M\) nằm trên cạnh \(BC\) và có \(MD \perp AB\), \(ME \perp AC\).

2. **Xem xét được các tam giác**:
- Từ các định nghĩa, ta có \(D\) là điểm thuộc đường tròn tâm \(A\) và đường kính là \(AD\).
- Các đường cao từ \(A\) đến \(BC\) tạo thành các góc vuông với các cạnh của tam giác \(ABC\).

3. **Áp dụng góc nội tiếp**:
- Ta sẽ chứng minh rằng góc \(ADH\) + góc \(AEH\) = 180°. (Tức là góc \(ADH\) và \(AEH\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\), từ đó suy ra \(A, D, H, E\) cùng nằm trên một đường tròn).

4. **Góc vuông**:
- Từ tính chất hình học, ta thấy góc \(ADE\) và \(AMH\) cũng là góc vuông.
- Như vậy, góc \(DHE\) cũng là góc vuông, cho nên \(A, D, M, H, E\) đều thoả mãn tính chất nằm trên một đường tròn có \(HM\) là đường kính.

5. **Kết luận**:
- Do đó, \(A, D, M, H, E\) cùng nằm trên một đường tròn.

Với các bước trên, ta đã chứng minh được bài toán một cách chính xác trong hình học.