Để tính toán biểu thức

\[
\frac{4^{1010} \cdot 9^{1010}}{3^{2019} \cdot 16^{504}},
\]

ta sẽ trước hết chuyển các số 4, 9 và 16 về các cơ số nguyên tố.

- \(4 = 2^2\) nên \(4^{1010} = (2^2)^{1010} = 2^{2020}\).
- \(9 = 3^2\) nên \(9^{1010} = (3^2)^{1010} = 3^{2020}\).
- \(16 = 2^4\) nên \(16^{504} = (2^4)^{504} = 2^{2016}\).

Bây giờ, thay thế vào biểu thức ta có:

\[
\frac{2^{2020} \cdot 3^{2020}}{3^{2019} \cdot 2^{2016}}.
\]

Giờ, ta sẽ rút gọn biểu thức này:

1. Tạo ra hệ số chung cho từng phần trong tử số và mẫu số.
2. Cụ thể tính riêng phần của \(3\) và \(2\):

Về phần \(3\):

- Trong tử số có \(3^{2020}\) và trong mẫu số có \(3^{2019}\).
- Do đó phần này sẽ rút gọn thành \(3^{2020 - 2019} = 3^1 = 3\).

Về phần \(2\):

- Trong tử số có \(2^{2020}\) và trong mẫu số có \(2^{2016}\).
- Do đó phần này sẽ rút gọn thành \(2^{2020 - 2016} = 2^4 = 16\).

Cuối cùng, ta có kết quả:

\[
\frac{2^{2020} \cdot 3^{2020}}{3^{2019} \cdot 2^{2016}} = 16 \cdot 3 = 48.
\]

Vậy kết quả của phép tính là:

\[
\boxed{48}.
\]