Tìm số nghiệm phương trình lượng giác: \[ \sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ trong khoảng } \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \]

Để giải phương trình lượng giác:

\[
\sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

trong khoảng \( \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \), ta sẽ tìm các giá trị mà hàm sin bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Hàm sin có giá trị bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) tại:

\[
\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{và} \quad \theta = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Do đó, ta có hai phương trình cần giải:

1. \(3x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\)
2. \(3x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\)

**Giải phương trình thứ nhất**:

\[
3x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi
\]

\[
3x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

\[
3x = \pi + 2k\pi
\]

\[
x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}
\]

Để tìm các nghiệm trong khoảng \( (0, \frac{\pi}{2}) \), ta đặt \( k = 0 \):

\[
x = \frac{\pi}{3} \quad (\text{thoả mãn } 0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2})
\]

Khi \( k = 1 \):

\[
x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \quad (\text{không thoả mãn})
\]

**Giải phương trình thứ hai**:

\[
3x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi
\]

\[
3x = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

\[
3x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi
\]

\[
x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}
\]

Để tìm các nghiệm trong khoảng \( (0, \frac{\pi}{2}) \), ta đặt \( k = 0 \):

\[
x = \frac{4\pi}{9}
\]

\( \frac{4\pi}{9} \) cũng thoả mãn \( 0 < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2} \).

Khi \( k = 1 \):

\[
x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{10\pi}{9} \quad (\text{không thoả mãn})
\]

Tóm lại, ta tìm được hai nghiệm trong khoảng \( (0; \frac{\pi}{2}) \):

1. \( x = \frac{\pi}{3} \)
2. \( x = \frac{4\pi}{9} \)

Vậy, số nghiệm của phương trình là **2**.