Để giải bất phương trình

\[
\frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} < 0,
\]

ta cần xem xét dấu của phân số này.

**Bước 1: Xác định tử số và mẫu số.**

- Tử số: \(2x(3x - 5)\)
- Mẫu số: \(x^2 + 1\)

**Bước 2: Phân tích tử số.**

Tử số sẽ bằng 0 khi \(2x(3x - 5) = 0\), tức là:

- \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
- \(3x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}\)

Nên, tử số sẽ có dấu khác 0 tại các khoảng:
- Với \(x < 0\), \(2x < 0 \Rightarrow 2x(3x - 5) > 0\) (vì \(3x - 5 < 0\))
- Với \(0 < x < \frac{5}{3}\), thì \(2x > 0\) và \(3x - 5 < 0 \Rightarrow 2x(3x - 5) < 0\)
- Với \(x > \frac{5}{3}\), \(2x > 0\) và \(3x - 5 > 0 \Rightarrow 2x(3x - 5) > 0\)

**Bước 3: Xác định mẫu số.**

Mẫu số \(x^2 + 1\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\) vì \(x^2 \geq 0\) và luôn lớn hơn 0 (là tổng của một số dương và 1).

**Bước 4: Xét dấu của toàn bộ phân số.**

Từ kết quả trên, ta có:
- \( \frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} < 0 \) khi \(0 < x < \frac{5}{3}\).

**Bước 5: Viết tập nghiệm.**

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là:

\[
x \in (0, \frac{5}{3}).
\]

Vậy nên, nghiệm của bất phương trình

\[
\frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} < 0
\]

là \(x \in (0, \frac{5}{3})\).