Để chứng minh rằng \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2023} \) chia hết cho 10, đầu tiên chúng ta sẽ sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân.

Tổng \( A \) có thể được tính bằng công thức tổng cấp số nhân:

\[
A = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]

Trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên, \( r \) là tỷ số chung và \( n \) là số hạng. Ở đây, \( a = 1 \), \( r = 3 \) và \( n = 2024 \) (bởi vì số hạng bắt đầu từ 0, do đó có tổng cộng 2024 số hạng).

Áp dụng công thức:

\[
A = \frac{1(1 - 3^{2024})}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{2024}}{-2} = \frac{3^{2024} - 1}{2}
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 10, tức là \( \frac{3^{2024} - 1}{2} \) chia hết cho 10.

Để \( A \) chia hết cho 10, \( 3^{2024} - 1 \) cần chia hết cho 20 (bởi vì bất kỳ số lẻ nào chia cho 2, nếu kết quả phải chia hết cho 10 thì số đó phải là bội của 20).

Bây giờ, chúng ta xem xét \( 3^{2024} \mod 20 \).

Ta sẽ tính \( 3^n \mod 20 \) để tìm ra quy luật:

- \( 3^1 \equiv 3 \mod 20 \)
- \( 3^2 \equiv 9 \mod 20 \)
- \( 3^3 \equiv 27 \equiv 7 \mod 20 \)
- \( 3^4 \equiv 21 \equiv 1 \mod 20 \)

Mỗi 4 số hạng, \( 3^n \mod 20 \) trả về giá trị lặp lại. Do đó:

- \( 3^{4k} \equiv 1 \mod 20 \)
- \( 3^{4k+1} \equiv 3 \mod 20 \)
- \( 3^{4k+2} \equiv 9 \mod 20 \)
- \( 3^{4k+3} \equiv 7 \mod 20 \)

Với \( n = 2024 \), ta thấy \( 2024 \div 4 = 506 \) dư 0, tức là:

\[
3^{2024} \equiv 1 \mod 20
\]

Vì vậy:

\[
3^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 20
\]

Do đó, \( 3^{2024} - 1 \) chia hết cho 20, suy ra \( \frac{3^{2024} - 1}{2} \) chia hết cho 10.

Kết luận, \( A \) chia hết cho 10.