Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta có thể đi qua từng phần một.

**a) Chứng minh AM là tia phân giác góc BAC:**

- Vì \( AB = AC \), tam giác ABC là tam giác cân tại A.
- Điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho \( MB = MC \). Theo định nghĩa, điều này nghĩa là M nằm trên đường trung trực của đoạn BC.
- Khi đó, vì N là trung điểm của BC, ta có \( BN = NC \). Suy ra, từ M tới BN và NC có khoảng cách bằng nhau.
- Bởi vì M nằm trên đường trung trực và trên đoạn AC, AM chính là tia phân giác góc BAC.

**b) Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng:**

- Ta đã chứng minh được AM là tia phân giác của góc BAC. Điều này có nghĩa là tọa độ M là một điểm nằm trên bình phương của góc BAC.
- Thay vì chứng minh A, M, N thẳng hàng một cách trực tiếp, ta có thể sử dụng properties của giác quan.
- Theo định nghĩa, N là trung điểm của BC, nên A, M, N đều nằm trên cùng một đường thẳng bởi tính chất của tia phân giác trong tam giác cân. Do đó, A, M, N thẳng hàng.

**c) Chứng minh MN vuông góc với BC:**

- Gọi H là chân đường vuông góc từ A tới đường thẳng BC. Vì AM là tia phân giác, và M nằm trên chính đường trung trực, ta có thể suy ra rằng MN vuông góc với BC.
- Đoạn thẳng AH đã được thiết lập vuông góc với BC, từ đó dẫn đến M nằm trên đường thẳng này, và MN trở thành đường vuông góc với BC.

Tóm lại, từ các chứng minh trên, ta có thể xác nhận:

1. AM là tia phân giác góc BAC.
2. A, M, N thẳng hàng.
3. MN vuông góc với BC.