Để giải bài toán, ta tiến hành từng phần một như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác AMDN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng:

- Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

**Chứng minh:**

- Vì DM // AC và DN // AB, ta có:
- Xét tam giác ADC, ta có:
\[
\frac{AD}{AC} = \frac{DM}{AB} \quad (\text{theo định lý về tỉ số đoạn thẳng tỉ lệ})
\]

- Từ đó, theo định nghĩa hình bình hành:
- AM = DN và AN = DM.

Kết luận: Tứ giác AMDN là hình bình hành.

### b) Tam giác BDM là tam giác gì?

**Chứng minh:**

Do DM // AC, ta có:
- Góc BDM = Góc DAC (góc đồng vị).

Vì △ABC là tam giác cân tại A (AC = AB), nên ta có:
- Góc BAC = Góc BCA.

Tựu chung lại, hai góc BDM và DAC là hai góc tương ứng, vậy:
- ΔBDM ~ ΔDAC (có mối liên hệ tỉ lệ về góc).

Do đó, ΔBDM là tam giác vuông tại D (tương tự như ΔDAC).

### c) So sánh DM + DN với AB.

**Chứng minh:**

Vì DM // AC và DN // AB, áp dụng định lý Triangulation, ta có thể viết:
\[
DM + DN = AC + AB
\]

Do đó, khi sử dụng định lý hoặc hệ thức về độ dài các đoạn thẳng trong tam giác:
- DM + DN < AB.

Kết luận:
\[
DM + DN < AB
\]

Vậy ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.