Để chứng minh tứ giác \( AHCK \) là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng:

1. Hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \( AHCK \) là song song.
2. Hoặc chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện là bằng nhau.

**Bước 1: Gọi các đoạn màu**

Trong tứ giác \( ABCD \), các cạnh \( AB \) và \( CD \) là song song và bằng nhau (định nghĩa hình bình hành).

**Bước 2: Chứng minh cạnh \( AH \) và \( CK \)**

- Từ điểm \( A \), kẻ đường vuông góc \( AH \) với \( BD \).
- Từ điểm \( C \), kẻ đường vuông góc \( CK \) với \( BD \).

Vì \( AH \) và \( CK \) đều vuông góc với cùng một đường thẳng \( BD \), nên \( AH \) và \( CK \) song song với nhau (định lý về các đường vuông góc).

**Bước 3: Chứng minh cạnh \( AC \) và \( HK \)**

Đoạn thẳng \( AC \) là đoạn nối giữa hai đỉnh \( A \) và \( C \). Đoạn thẳng này đứng trên đáy \( BD \) và do đó cũng sẽ song song với đường thẳng nối giữa các điểm chạm vuông góc \( H \) và \( K \), tức là đoạn thẳng \( HK \).

Vì vậy, ta chứng minh được \( AH \parallel CK \) và \( AC \parallel HK \).

**Kết luận:**

Vì hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \( AHCK \) là song song, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( AHCK \) là một hình bình hành.