Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) \( \triangle ABM \) là tam giác gì?

- **Xét điều kiện của góc phân giác**: Do \( M \) là giao điểm của tia phân giác của \( \angle B \) với \( AD \), ta có
\[
\frac{AM}{MD} = \frac{AB}{BM}
\]
Tương tự, do \( N \) là giao điểm của tia phân giác của \( \angle D \) với \( BC \), ta có
\[
\frac{DN}{NC} = \frac{AD}{BD}
\]

- **Xét độ dài các cạnh**: Khi \( AB < AD \), ta có thể thấy rằng \( BM < AM \) (do \( M \) thuộc tia phân giác và \( AB < AD \)).

Vậy, \( \triangle ABM \) có các cạnh \( AM \) và \( BM \) không bằng nhau tức là \( \triangle ABM \) là tam giác vuông hoặc tam giác nhọn hoặc tam giác tù tùy vào định nghĩa. Nhưng để có thông tin cụ thể hơn, chúng ta cần thông tin về các góc \( \angle B \) và \( \angle A \) từ hình vẽ.

### b) Chứng minh tứ giác \( BMDN \) là hình bình hành

Để chứng minh \( BMDN \) là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

1. **Cặp cạnh thứ nhất**: Chúng ta có:
- \( BM \) là cạnh đối diện với \( DN \)
- Từ điều kiện của các tia phân giác, suy ra theo tính chất phân giác, \( \frac{BM}{MD} = \frac{AB}{AM} \) và tương tự cho \( DN \).
- Do đó, ta có \( AB \parallel DN \) và \( BM \parallel AD \).

2. **Cặp cạnh thứ hai**: Xét \( BMD \) và \( MND \):
- Vì \( B \) và \( D \) là hai đỉnh đối diện trên tứ giác, từ định nghĩa của phân giác và tính chất của hình bình hành, chúng ta sẽ có các góc \( \angle ABM = \angle DNM \) và \( \angle BMD = \angle MDA \).

3. **Kết luận**:
- Từ tính chất các cạnh và độ dài bằng nhau, chúng ta có thể kết luận tứ giác \( BMDN \) là hình bình hành bởi nó có 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

Vì vậy, tứ giác \( BMDN \) là hình bình hành.