Để xác định tất cả các cặp số nguyên dương \( (a, b) \) sao cho phương trình \( ax^2 - bx + 2a + 3 = 0 \) có hai nghiệm nguyên dương phân biệt, ta bắt đầu bằng cách áp dụng điều kiện cho phương trình bậc hai.

Phương trình có dạng:

\[
ax^2 - bx + (2a + 3) = 0
\]

### Bước 1: Xác định điều kiện có nghiệm

Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì điều kiện về đại lượng thuận (Delta) phải thỏa mãn:

\[
D = b^2 - 4a(2a + 3) > 0
\]

### Bước 2: Giải tìm nghiệm

Giả sử hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = \frac{b}{a} \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = \frac{2a + 3}{a}
\]

Để cả \( x_1 \) và \( x_2 \) là số nguyên dương phân biệt, ta cũng cần:

1. \( x_1 + x_2 \) và \( x_1 x_2 \) đều là số nguyên dương.
2. \( x_1 \neq x_2 \)

Từ \( x_1 x_2 = \frac{2a + 3}{a} \), ta có:

\[
x_1 x_2 = 2 + \frac{3}{a}
\]

Để \( x_1 \) và \( x_2 \ là các số nguyên dương, \( 2 + \frac{3}{a} \) cũng phải là một số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( a \) là ước của 3 tức là \( a \) có thể nhận các giá trị 1 hay 3.

### Bước 3: Tính từng trường hợp của \( a \)

#### Trường hợp 1: \( a = 1 \)

Khi \( a = 1 \), ta có:

\[
x_1 x_2 = 2 + \frac{3}{1} = 5
\]

\[
x_1 + x_2 = \frac{b}{1} = b
\]

Các cặp \( (x_1, x_2) \) nguyên dương chia hết cho 5 sẽ là: \( (1, 5) \) và \( (5, 1) \); \( (5, 2) \) (với \( x_1 + x_2 = b \)). Vì tém thể hiện trường hợp \( x_1 \neq x_2\).

- Với \( x_1 = 1, x_2 = 5 \) cho \( b = 6 \)
- Với \( x_1 = 2, x_2 = 3 \) cho \( b = 5 \)

Kết quả: \( (1, 6) \) và \( (1, 5) \).

#### Trường hợp 2: \( a = 3 \)

Khi \( a = 3 \), ta có:

\[
x_1 x_2 = 2 + \frac{3}{3} = 3
\]

\[
x_1 + x_2 = \frac{b}{3} = b
\]

Các cặp \( (x_1, x_2) \) nguyên dương chia hết cho 3 sẽ là: \( (1, 3) \) và \( (3, 1) \).

- Với \( x_1 = 1, x_2 = 3 \) cho \( b = 4 \)
- Với \( x_1 = 3, x_2 = 1 \) cho \( b = 4 \).

Kết quả: \( (3, 4) \).

### Kết luận

Các cặp số \( (a, b) \) nguyên dương thỏa mãn điều kiện đã cho là:

- \( (1, 5) \)
- \( (1, 6) \)
- \( (3, 4) \)