Rút gọn mỗi biểu thức sau: a) \( A = 1 + 3 + 3 + 3 + ... + 3^{n} \), b) \( B = 2^{n} - 2^{n - 1} + 2^{n - 2} + ... + 2^{0} \)

Để rút gọn các biểu thức \(A\) và \(B\), ta thực hiện như sau:

### a) \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^n \)

Đây là một tổng của cấp số nhân. Công thức tổng của cấp số nhân sẽ được sử dụng:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \(a = 1\) (với \(3^0\)),
- \(r = 3\),
- \(n + 1\) là số hạng (từ \(3^0\) đến \(3^n\)).

Áp dụng công thức, ta có:

\[
A = 1 \cdot \frac{3^{n + 1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n + 1} - 1}{2}
\]

### b) \( B = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - ... + 2^0 \)

Biểu thức này có thể tái sử dụng một phương pháp tương tự. Chúng ta xử lý theo từng hạng tử:

\[
B = (2^{100} - 2^{99}) + (2^{98} - 2^{97}) + ... + (2^2 - 2^1) + 2^0
\]

Mỗi cặp đây là một hạng tử:

\[
= 2^{99}(2 - 1) + 2^{97}(2 - 1) + ... + 2^0
\]

Bây giờ ta có thể nhóm lại, và nhận thấy rằng mỗi cặp hạng tử bằng \( 2^{k}(1) \):

\[
B = 2^{99} + 2^{97} + ... + 2^1 + 2^0
\]

Đây cũng là một biểu thức tổng của cấp số nhân. Số hạng này sẽ đi từ \(2^0\) đến \(2^{99}\):

\[
B = 2^0 \cdot \frac{(2^{100}-1)}{2-1} = 2^{100} - 1
\]

### Kết quả
- \( A = \frac{3^{n + 1} - 1}{2} \)
- \( B = 2^{100} - 1 \)