Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng phương trình:

### a) \( (x - 1)(y + 5) = 12 \)

- Khai thác các cặp số tự nhiên sao cho tích là 12:
- \( (1, 12) \)
- \( (2, 6) \)
- \( (3, 4) \)
- \( (4, 3) \)
- \( (6, 2) \)
- \( (12, 1) \)

- Thay vào phương trình và kiểm tra:
- \( x - 1 = 1, y + 5 = 12 \Rightarrow x = 2, y = 7 \)
- \( x - 1 = 2, y + 5 = 6 \Rightarrow x = 3, y = 1 \)
- \( x - 1 = 3, y + 5 = 4 \Rightarrow x = 4, y = -1 \) (không hợp lệ)
- ...

=> Ta có nghiệm: \( (x, y) = (2, 7), (3, 1) \)

### b) \( (2x + 5)(y + 1) = 42 \)

- Các cặp số tự nhiên có tích là 42:
- \( (1, 42) \)
- \( (2, 21) \)
- \( (3, 14) \)
- \( (6, 7) \)
- ...

- Kiểm tra từng trường hợp:
- \( 2x + 5 = 1 \) (không hợp lệ)
- ...
- \( 2x + 5 = 6 \Rightarrow x = 0.5 \) (không hợp lệ)
- \( 2x + 5 = 7 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y + 1 = 6 \Rightarrow y = 5 \)

=> Nghiệm là \( (x, y) = (1, 5) \)

### c) \( xy + 2x + y = 5 \)

Chuyển đổi thành phương trình:
\[ xy + 2x + y = 5 \]
\[ y(x + 1) + 2x = 5 \]

- Thử với các giá trị x đã cho.

Kiểm tra các giá trị khả thi:
- Nếu \( x = 1 \):
- \( y(1 + 1) + 2 = 5 \Rightarrow 2y + 2 = 5 \Rightarrow 2y = 3 \Rightarrow y = 1.5 \) (không hợp lệ)
- Nếu \( x = 2 \):
- \( y(2 + 1) + 4 = 5 \Rightarrow 3y + 4 = 5 \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3} \) (không hợp lệ)
- Nếu \( x = 0 \) thì sẽ không có nghiệm tự nhiên.

=> Không có nghiệm tự nhiên cho câu này.

### d) \( xy - 3x - 2y = 7 \)

Chuyển đổi tương tự:
\[ xy - 3x - 2y - 7 = 0 \]

- Thử với các giá trị x:
- Nếu \( x = 1 \):
- \( y - 3 - 2y = 7 \Rightarrow -y - 3 = 7 \Rightarrow y = -10 \) (không hợp lệ)
- Nếu \( x = 2 \):
- \( 2y - 6 - 2y = 7 \Rightarrow -6 = 7 \) (không hợp lệ)
- Nếu \( x = 3 \):
- \( 3y - 9 - 2y = 7 \Rightarrow y - 9 = 7 \Rightarrow y = 16 \)

=> Nghiệm là \( (x, y) = (3, 16) \)

Tóm lại, nghiệm cho các câu a) và b) đều hợp lệ nhưng c) không có nghiệm và d) có nghiệm.