Cho tam giác ABC có b+c=6, S=a^2-(b-c)^2. Tìm GTLN S

Để tìm giá trị lớn nhất \( S = a^2 - (b - c)^2 \) trong tam giác ABC với điều kiện \( b + c = 6 \), ta sẽ sử dụng một số tính chất về tam giác.

Đầu tiên, từ định lý bất đẳng thức tam giác, ta có:

\[
a < b + c = 6 \implies a < 6
\]

Ngoài ra, ta có thể thay \( b \) và \( c \) bằng các biến đại diện khác. Giả sử \( b = x \) và \( c = 6 - x \), trong đó \( 0 < x < 6 \).

Như vậy, ta có:

\[
b - c = x - (6 - x) = 2x - 6
\]

Và do đó, \( (b - c)^2 = (2x - 6)^2 \).

Trong tam giác, có một mối quan hệ giữa các cạnh, theo đó:

\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
\]

Trong trường hợp tam giác vuông, khi \( A = 90^\circ \), ta có:

\[
\cos A = 0 \implies a^2 = b^2 + c^2
\]

Vậy, khi tối ưu hóa \( S \), ta cần bỏ qua ảnh hưởng của \( \cos A \) và tập trung vào các biểu thức \( b^2 + c^2 \) với \( b + c = 6 \).

**Tính \( S \):**

Ta có:

\[
b^2 + c^2 = b^2 + (6 - b)^2 = b^2 + (36 - 12b + b^2) = 2b^2 - 12b + 36
\]

Và ta có:

\[
S = (b^2 + c^2) - (2x - 6)^2
\]

Để tính \( S \):

1. Tính \( 2x^2 - 12x + 36 - (2x - 6)^2 \)
2. Đặt \( y = b \) và \( c = 6 - b \)

Cuối cùng, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất của \( S \) theo \( b \).

Giá trị cần tối ưu ở đỉnh của hàm bậc 2 thường có dạng \( S(x) = -2(x - 3)^2 + 36 \) cho \( x \) trong khoảng \( [0, 6] \), đạt cực đại tại \( x = 3 \).

Vậy:

\[
S_{\text{max}} = 36
\]

Vậy giá trị lớn nhất của \( S \) trong tam giác ABC với điều kiện \( b + c = 6 \) là:

\[
\boxed{36}
\]