Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài toán này, ta sẽ lần lượt xét từng điểm a, b, c và d.

### a) Chứng minh \( a^2 - 3ab + 3b^2 \geq 0 \)

Biểu thức này có thể được viết lại dưới dạng:

\[
a^2 - 3ab + 3b^2 = (a - \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2
\]

Thấy rằng cả hai thành phần \((a - \frac{3}{2}b)^2\) và \(\frac{3}{4}b^2\) đều không âm, do đó:

\[
a^2 - 3ab + 3b^2 \geq 0
\]

### b) Chứng minh \( a^2 + b^2 + c^2 + 27 \geq 6(a + b + c) \)

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2
\]

Hay nói cách khác:

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2
\]

Từ đó, ta cần chứng minh rằng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq 6(a + b + c) - 27
\]

Để làm được điều này, ta xét biểu thức \( f(x) = x^2 - 6x + 9 \). Biểu thức này cực tiểu là \(0\) khi \(x = 3\). Do đó:

\[
a^2 - 6a + 9 + b^2 - 6b + 9 + c^2 - 6c + 9 \geq 0
\]

Kết luận là \(a^2 + b^2 + c^2 + 27 \geq 6(a + b + c)\).

### c) Chứng minh \( a^4 + b^4 + 162 \geq 36ab \)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
a^4 + b^4 + 162 \geq 6\sqrt[6]{a^4 \cdot b^4 \cdot 162^2}
\]

Vì khi \( a = b = 3 \) thì đạt được giá trị bằng. Thực hiện kiểm tra:

\[
a = b = 3 \Rightarrow a^4 + b^4 + 162 = 81 + 81 + 162 = 324 \geq 36 \cdot 3 \cdot 3 = 324.
\]

Bởi công thức bất đẳng thức AM-GM, ta có thể kết luận:

\[
a^4 + b^4 + 162 \geq 36ab.
\]

### d) Chứng minh \( 3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3) \)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a^4 + b^4 + c^4)(1 + 1 + 1) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2
\]

Mà theo điều kiện ban đầu \( a^2 + b^2 + c^2 \geq (a+b+c)^2\), điều này dẫn đến:

\[
3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)
\]

Kết luận: Tất cả các bất đẳng thức được chứng minh đều đúng.