Phương trình sin \(\left(3x + \frac{3}{2}\right) = \sqrt{2}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \([0; 2\pi)\)? Số nghiệm thực của phương trình \(2\sin x + 1 = 0\) trên đoạn \(\left[\frac{3\pi}{2}; 10\pi\right]\) là

Để tìm số nghiệm của các phương trình bạn đã đưa ra, ta sẽ làm từng phần một.

**1. Phương trình:**
\[
\sin\left(3x + \frac{3}{2}\right) = \sqrt{2}
\]

Giá trị của hàm sin chỉ nhận các giá trị trong khoảng \([-1, 1]\). Tuy nhiên, \(\sqrt{2} \approx 1.414\) nên phương trình này không có nghiệm thực nào.

**Kết luận:** Phương trình này có **0 nghiệm** trong khoảng \([0; 2\pi)\).

---

**2. Phương trình:**
\[
2\sin x + 1 = 0
\]
Giải phương trình này, ta có:
\[
2\sin x = -1 \implies \sin x = -\frac{1}{2}
\]

Các nghiệm của \(\sin x = -\frac{1}{2}\) trong khoảng \([0; 2\pi)\) là:
\[
x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}
\]

Bây giờ, tìm số nghiệm trong khoảng \(\left[\frac{3\pi}{2}; 10\pi\right]\).

Nghiệm trong khoảng này:
- \(\frac{7\pi}{6} \approx 3.665\) (không thuộc khoảng)
- \(\frac{11\pi}{6} \approx 5.759\) (có, 1 nghiệm)

Tiếp tục, ta sẽ tìm các nghiệm của phương trình \(\sin x = -\frac{1}{2}\) trong đoạn \(\left[\frac{3\pi}{2}; 10\pi\right]\):
- Các nghiệm có dạng:
\[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \text{ và } x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

- Tính cho \(m = 0, 1, 2, \ldots\), ta có:
* \(\frac{7\pi}{6} + 2\cdot3\pi = \frac{7 + 36}{6}\pi = \frac{43\pi}{6}\) (có)
* \(\frac{11\pi}{6} + 2\cdot3\pi = \frac{11 + 36}{6}\pi = \frac{47\pi}{6}\) (có)
* Tiếp tục với \(k = 4\):
- \(\frac{7\pi}{6} + 8\pi = \frac{7 + 48}{6}\pi = \frac{55\pi}{6}\) (có)
- \(\frac{11\pi}{6} + 8\pi = \frac{11 + 48}{6}\pi = \frac{59\pi}{6}\) (có)

Lập bảng nghiệm:
- Đối với \(k = 0: \frac{11\pi}{6}\)
- Đối với \(k = 1: \frac{23\pi}{6}, \frac{25\pi}{6}\)
- Đối với \(k = 2: \frac{31\pi}{6}, \frac{35\pi}{6}\)
- Đối với \(k = 3: \frac{43\pi}{6}, \frac{47\pi}{6}\)
- Đối với \(k = 4: \frac{55\pi}{6}, \frac{59\pi}{6}\)

Kết luận tổng cộng có 7 nghiệm trong khoảng \(\left[\frac{3\pi}{2}; 10\pi\right]\).

Tóm lại:
- Số nghiệm của phương trình \(\sin(3x + \frac{3}{2}) = \sqrt{2}\) là **0**.
- Số nghiệm của phương trình \(2\sin x + 1 = 0\) trong đoạn \(\left[\frac{3\pi}{2}; 10\pi\right]\) là **7**.