Cho đường tròn tâm O đường kính AD, dây AB. Qua B vẽ dây BC vuông góc AD tại H. Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính AH

Chúng ta sẽ giải quyết từng bài một.

### Bài 1:
Cho đường tròn tâm O, đường kính AD. Dây AB. Qua B vẽ dây BC vuông góc AD tại H. Biết \( AB = 10 \) cm, \( BC = 12 \) cm. Tính \( AH \).

1. **Xác định các điểm**: Gọi H là giao điểm của BC và AD. Vì BC vuông góc với AD, nên H là chân đường vuông góc từ B xuống AD.
2. **Áp dụng định lý Pythagore**:
- Xét tam giác vuông BHC, ta có:
\[
BC^2 = BH^2 + HC^2
\]
Trong đó:
- \( BH = AH \)
- \( BC = 12 \) cm.

3. **Tính độ dài AB và AD**:
- Đường kính AD có độ dài lớn nhất. Do đó, bán kính \( R \) của đường tròn bằng nửa đường kính.
- \( R = \frac{AD}{2} \).
- Đặt \( AH = x \), thì \( BH = x \) (giả sử H nằm giữa A và D).
- Ta có:
\[
AB = AH + HB = x + \sqrt{AD^2 - (R)^2} = 10
\]
- \( AD = x + (R + 10 - x) = R + 10 \).
4. **Tính toán**:
Giả sử \( AH = x \),
\[
AH = 10 - \sqrt{12^2 - x^2}
\]
\( x^2 + 144 = 100 \implies x^2 = 244 \).

Do đó, \( AH \approx x = \frac{\sqrt{244}}{2} \).

### Bài 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh \( AB = 18 \) cm, \( AC = 24 \) cm.

1. **Tính cạnh huyền**:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow BC^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \Rightarrow BC = \sqrt{900} = 30 \text{ cm}.
\]

2. **Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp**:
Công thức tính bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là:
\[
R = \frac{huyền}{2} = \frac{BC}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}.
\]

### Bài 3:
Cho đường tròn tâm (O; 5 cm), dây CD không đi qua O, gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD. Biết \( OH = 3 \) cm, tính độ dài dây CD.

1. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Gọi d là độ dài dây CD, với O là tâm của đường tròn và OH là khoảng cách từ tâm đến CD.
- Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OHC:
\[
OC^2 = OH^2 + HC^2,
\]
trong đó \( OC = 5 \) cm và \( OH = 3 \) cm.

2. **Tính HC**:
\[
5^2 = 3^2 + HC^2 \implies 25 = 9 + HC^2 \implies HC^2 = 16 \implies HC = 4 \text{ cm}.
\]

3. **Tính độ dài dây CD**:
- Dây CD có độ dài gấp đôi chiều dài từ H tới C, nên:
\[
CD = 2 \times HC = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}.
\]

### Kết quả cuối cùng:
- **Bài 1**: \( AH \approx 4.9 \) cm.
- **Bài 2**: Bán kính đường tròn ngoại tiếp là 15 cm.
- **Bài 3**: Độ dài dây CD là 8 cm.