Để giải bất phương trình \( x + \frac{3}{4} + 1 < x + x + \frac{2}{3} \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Đơn giản hóa cả hai bên của bất phương trình.

Bên trái:
\[
x + \frac{3}{4} + 1 = x + \frac{3}{4} + \frac{4}{4} = x + \frac{7}{4}
\]

Bên phải:
\[
x + x + \frac{2}{3} = 2x + \frac{2}{3}
\]

Vậy bất phương trình trở thành:
\[
x + \frac{7}{4} < 2x + \frac{2}{3}
\]

2. Đưa các số hạng chứa \( x \) về một bên và các số hạng tự do về bên kia:
\[
\frac{7}{4} < 2x - x + \frac{2}{3}
\]
\[
\frac{7}{4} < x + \frac{2}{3}
\]

3. Trừ \( \frac{2}{3} \) khỏi cả hai bên:
\[
\frac{7}{4} - \frac{2}{3} < x
\]

Để thực hiện phép trừ này, ta cần tìm một mẫu số chung cho \( \frac{7}{4} \) và \( \frac{2}{3} \). Mẫu số chung của \( 4 \) và \( 3 \) là \( 12 \).

Ta viết lại \( \frac{7}{4} \) và \( \frac{2}{3} \):
\[
\frac{7}{4} = \frac{21}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12}
\]

Thay vào bất phương trình:
\[
\frac{21}{12} - \frac{8}{12} < x
\]
\[
\frac{13}{12} < x
\]

4. Kết luận:
\[
x > \frac{13}{12}
\]

Vậy nghiệm của bất phương trình là \( x > \frac{13}{12} \).