Để tính giá trị của biểu thức \( P = 5a + 2b \) từ giá trị của hàm số \( y = \sin x + \sqrt{3} \cos x + 3 \), trước tiên chúng ta cần tìm giá trị cực tiểu và cực đại của hàm \( y \).

Hàm có thể được viết lại theo dạng:

\[
y = \sin x + \sqrt{3} \cos x + 3
\]

Chúng ta có thể biến đổi phần đầu của hàm \( \sin x + \sqrt{3} \cos x \) thành dạng tổng hợp:

\[
y = R \sin(x + \phi) + 3
\]

Trong đó, \( R \) và \( \phi \) được xác định như sau:

\[
R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
\]

Và

\[
\sin \phi = \frac{1}{2}, \quad \cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Do đó, \( \phi = \frac{\pi}{6} \). Bây giờ, chúng ta viết lại hàm \( y \):

\[
y = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 3
\]

Hàm số \( \sin \) có giá trị nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó, ta có:

\[
2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \in [-2, 2]
\]

Vậy giá trị của \( y \) sẽ nằm trong khoảng:

\[
y \in [-2 + 3, 2 + 3] = [1, 5]
\]

Từ đó, \( a = 1 \) và \( b = 5 \).

Bây giờ, ta tính \( P \):

\[
P = 5a + 2b = 5(1) + 2(5) = 5 + 10 = 15
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là:

\[
\boxed{15}
\]