Trong tam giác ABC vuông tại A, với các điểm H, M, N được định nghĩa như trên, ta sẽ giải từng phần một.

### a) Tứ giác AMHN là hình gì? Vì sao?
Tứ giác AMHN là hình chữ nhật. Để chứng minh điều này, ta cần lưu ý rằng:

- AM là đường vuông góc với AB tại H, do đó ∠AMH = 90°.
- HN là đường vuông góc với AC tại H, do đó ∠HNA = 90°.
- Tương tự, ∠AMH là vuông và ∠HNA cũng vuông.

Vì vậy, AM và HN đều vuông góc với nhau tại H, và do đó các cạnh AM và NH đều song song với nhau, cũng như AH và MN. Do đó, từ những yếu tố này, ta có thể kết luận rằng AMHN là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác AHKC là hình bình hành
Để chứng minh AHKC là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này là song song và bằng nhau.

1. **Chứng minh AH = KC:**
- Trong tam giác vuông ABC, AH là đường cao từ A xuống cạnh BC. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = AB \cdot AC
\]
- Hơn nữa, KC cũng là chiều cao từ điểm K xuống cạnh AC, do đó cũng có:
\[
KC^2 = AB \cdot AC
\]
- Từ đây, suy ra AH = KC.

2. **Chứng minh CK || AH:**
- Từ định nghĩa, CK là đường vuông góc với AB và AH là đường vuông góc với BC. Vậy ta cũng có CK || AH.

Do đó, tứ giác AHKC có cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, từ đó suy ra rằng AHKC là hình bình hành.

### c) Chứng minh AK = 3 AG
- Để chứng minh AK = 3 AG, ta có thể dùng tỉ lệ chia đoạn trong tam giác. Mặt khác, điểm O là giao điểm của MN và AH.

- Theo tính chất của tỉ lệ và cao của tam giác vuông, nếu CO cắt AK tại G, và biết rằng đường thẳng MN cắt AH thì có thể suy ra được rằng tỉ lệ giữa các đoạn AG và GK liên quan tới bề dài của các đoạn cao từ A.

- Theo tính chất tỉ lệ của tam giác, vì MN vuông góc với AH nên các đoạn AO, OG và GK luôn duy trì tỉ lệ nhất định. Trong trường hợp này, vì các đoạn được chia theo tỉ lệ 1:3, do đó ta có mô tả:
\[
AG = \frac{1}{3} AK
\]
=> \[
AK = 3 AG
\]

Tóm lại, đáp án cho các phần là:

a) Tứ giác AMHN là hình chữ nhật;

b) Tứ giác AHKC là hình bình hành;

c) AK = 3 AG.