Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{a+b+3c}{a+b-2c} \) với điều kiện \( \frac{3}{a+b} = \frac{2}{b+c} = \frac{1}{c+a} \), chúng ta bắt đầu với các tỉ số này.

Giả sử \( k = \frac{3}{a+b} = \frac{2}{b+c} = \frac{1}{c+a} \), từ đó ta có:
\[
a + b = \frac{3}{k},
\]
\[
b + c = \frac{2}{k},
\]
\[
c + a = \frac{1}{k}.
\]

Chúng ta có 3 phương trình và thêm một điều kiện: tổng \( a + b + c \neq 0 \).

Bây giờ, từ các phương trình trên, chúng ta có thể rút ra các biểu thức cho \( a, b, c \):
1. Từ \( a + b = \frac{3}{k} \), ta có \( a + b = 3x \) với \( x = \frac{1}{k} \), ứng với \( k = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x} \), tức là \( k = \frac{3}{x} \).
2. Tương tự, từ \( b + c = 2x \) và \( c + a = x \).

Ta sẽ giải hệ phương trình này:

Từ \( a + b + c = x + 2x - b \to a + c = x \),
Ta đã có:
- \( a + b = 3x \)
- \( b + c = 2x \)
- \( c + a = x \)

Thâm nhập và thực hiện thay thế, chúng ta có:

- Từ phương trình \( a + b + c = x + 2x - b = 3x - b \).
- Phương trình được thiết lập là \( a + b + c = 3x \).

Giải vào sẽ dẫn đến các phương trình có thể chốt giá trị:
Từ \( a + b + c = 3x \), ta có thể đưa từng \( a, b, c \) gần hơn, và điều chỉnh cho từng phần sẽ dẫn dễ hơn.

Gọi tổng \( a + b + c = S \), từ đó \( S = 3x \).

#### Tính biểu thức \( A \):

Bây giờ tính toán biểu thức:

\[
A = \frac{S + 2c}{S - c} = \frac{3 + 2c}{3 - c}.
\]

Thay các giá trị \( a, b, c \):

Dễ dàng tính được:

\[
b + c = 2x \Rightarrow c = 2x - b,
\]

Biểu thức \( A = \frac{3 + 3c}{3 - c} = 5/2 \).

Do đó, chúng ta sẽ tìm được giá trị cuối cùng.

\[
A = 5.
\]

\(\Rightarrow\) Kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{5}.
\]