Để chứng minh rằng ID và IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE, ta sẽ lần lượt sử dụng các tính chất của các đường cao và trung điểm trong tam giác.

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Gọi \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ADE \).
- Điểm \( I \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Tính chất góc**:
- Vì \( BD \) và \( CE \) là các đường cao của tam giác \( ABC \), ta có các góc vuông \( \angle BHD = 90^\circ \) và \( \angle CHE = 90^\circ \).

3. **Xét lượng giác**:
- Xét tam giác \( ADE \):
- Gọi \( r \) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ADE \).
- \( ID \) và \( IE \) tạo ra các góc với các đoạn thẳng \( OA \), \( OB \), \( OC \) như sau:
- \( \angle AID = \angle OAD = 90^\circ - \angle A \)
- \( \angle AIE = \angle OAE = 90^\circ - \angle A \)
- Do đó, \( \angle AID + \angle AIE = 90^\circ + 90^\circ - 2\angle A \).

4. **Kết luận**:
- Khi \( \angle AID \) và \( \angle AIE \) là các góc bên ngoài tương ứng với \( OA \) và \( OB \), có nghĩa \( ID \) và \( IE \) vuông góc với bán kính \( OA \) và \( OB \) tại điểm tiếp xúc.
- Từ đó, suy ra rằng \( ID \) và \( IE \) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ADE \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( ID \) và \( IE \) là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ADE \).