Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2CD, Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích về tứ giác ADFE trước.

### a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Ta có hình chữ nhật ABCD với AB = 2CD.
- E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD.

2. **Tính chất của tứ giác ADFE**:
- Vì E là trung điểm, nên AE = EB.
- Tương tự, F là trung điểm nên CF = FD.
- Khi đó, AD // EF và AF // DE (AD là cạnh của hình chữ nhật và EF nối hai trung điểm).

3. **Từ tính chất trên**, ta thấy rằng:
- Hai cặp cạnh đối diện của tứ giác đều song song (AD // EF và AF // DE).
- Do đó, tứ giác ADFE là một hình thang.

### b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?

1. **Tính chất của tứ giác EMFN**:
- M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
- EM và FN tạo ra hai cặp cạnh liên tiếp nối giữa hai trung điểm của hai cạnh của hình chữ nhật.

2. **Phân tích thêm**:
- Một số thuộc tính của tứ giác EMFN:
- M và N là giao điểm của các đường chéo, có thể dẫn đến các đối xứng trong tứ giác.
- EM // FN (do E và F là trung điểm).
- MN có thể được coi là đường chéo hoặc đường nối giữa hai điểm nằm giữa.

3. **Kết luận**:
- Tính chất trên cho thấy tứ giác EMFN cũng là một hình thang, đặc biệt là hình thang vuông nếu như EM và FN vuông góc với MN.

### Kết luận:
- Tứ giác ADFE là hình thang.
- Tứ giác EMFN cũng là hình thang, có thể là hình thang vuông tùy thuộc vào các vị trí của các giao điểm.